筹算：小棍上的中国古代数学智慧 方式,数学

　　【科技文明探源】

　　今人眼中看似简略的数字，其实是人类数学发展数万年的智慧结晶。如何表现数、记载数，采取何种进制，直接决议了数学运算、使用乃至记载传承下去的方法。阿拉伯数字具有进位明确、便于书写等长处，成为现代世界通用的计数符号。

　　阿拉伯数字其实是印度人的创造，因为经阿拉伯人传入欧洲而得名。学术界称为印度—阿拉伯数字。在印度人这一创造之前，中国就发展出了一套适用、完美的记数体系——算筹记数法。中国科学院自然科学史研讨所研讨员邹大海表现，算筹是中国古代常用的盘算工具，也叫算、筹、策、筹策、算子等。用算筹来记数和盘算以及相应的方式，称为筹算。筹算是中国古代数学的特点。

　　在古代，中国数学是东亚数学的代表，在世界数学史上具有鲜明特点。邹大海觉得，相比于其他地域的古代数学，中国古代数学以盘算和算法见长，其重要原因之一就是广泛采取筹算，不仅发生了先进的记数法，而且有一套表现未知量和代数式的方式，它以奇特的方法实现了代数符号的功效。

　　十进位值制记数法最早呈现在中国

　　进制是数学的基础概念之一，其含义是“累计若干个基础单位即形成下一个单位”。人们比拟熟习的进制包含最常见的十进制、用于时光和角度计量的六十进制、盘算机领域常见的二进制和十六进制等。

　　进制的基本上发展出了位值制观念，即数字所在的位置可以表现该数字单位对应的倍数。例如在阿拉伯数字5234当中，5所在的位置是“千”位，表现5个千，而2、3、4在“百”“十”“个”位，分离表现2个百、3个十、4个一。许多记数体系没有位值制观念，例如古埃及数字由于没有位值制观念，显得非常繁琐。

　　邹大海介绍，十进制最早见于古埃及；位值制最早见于古代两河流域，那里的人采取了六十进的位值制；而现代通行的十进位值制记数法则最早来源于中国。

　　中国人很早就采取了十进制，中国汉字的数字记法就是十进制体系。一既是基础数字，也是数字单位，此外常见的数字单位有十、百、千、万、亿、兆、京等。

　　例如“一兆八千五百三十亿二千一十八万八千八百五十一”这个数，只要把空着的数位用〇取代，将兆、亿、万、千、百、十等数字单位撤去，就变成“一八五三〇二〇一八八八五一”，这与现代的“1853020188851”一一对应。可见，中国文字记数法是相当先进的，可以很容易跟通行的阿拉伯数字表现法进行转化。但是，中国文字表现法只是准十进位值制，尚不完美。真正采取十进位值制的是算筹记数法。公元14世纪以前，算筹曾是普遍应用的盘算工具，之后就逐渐被算盘所代替。

　　算筹的形象相似筷子，源于远古人们用长条形小棍计数的习性。用算筹表现一至九有纵、横两种形式。

　　《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张。”意思是，对于一到五，是几就用几根算筹表现；对于六到九，则将其中所含的五用一根算筹放在上面表现，余下几就用几根算筹与之垂直放在下面就可以了。比如╥表现七，上面一根表现五、下面两根表现二。

　　对于多位数，《孙子算经》记有其算筹表现法：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”古人在个位摆纵式，十位摆横式，百位又用纵式，千位又用横式，如此纵横交织进行。邹大海强调，原来只用两式的一种就够了，但纵横交织的方式更为清晰，也不容易弄乱。算筹记数法大约发生于西周、春秋之际，也可能更早。在出土的先秦陶片和货币上可以看到这种记数法的痕迹。

　　筹算具有壮大的记数和运算功效

　　筹算加减法比拟简略，古人没有记录。对于庞杂的乘除法，古人将算筹摆成三行，中行为乘积或被除数，下行为乘数或除数，上行为被乘数或商。运用九九口诀与算筹记数法相配合，就可以得出成果。这个进程在实质上与现代的竖式乘除法很接近。

　　筹算还可以求解线性方程组，在公元前1世纪成书的《九章算术》中，用一种称为“方程”的方式来表现问题和求解，其表达方法和运算方式都跟现代的增广矩阵很类似，而求解线性方程组的增广矩阵方式在欧洲是18、19世纪之交才呈现的。邹大海介绍，在筹算的方程中，不同位置具有指示不同未知量和常数项的作用，相当于现代的分别系数法。正是方程导致了正负数概念的发生，古代一般用黑色和红色的算筹分离表现负数和正数。

　　《九章算术》也用筹算来开平方、开立方，还用来求一元二次方程的解。这种方式不断发展，到宋代已形成了一套求一元高次方程数值解的方式。宋元时期还发展出列方程的广泛方式，先是呈现了针对一个未知量求解的天元术，后来发展到最多可达四个未知量的高次方程组的列法与解法——四元术，用天、地、人、物指示未知量。邹大海强调，这种方式所列出的算式中除算筹和个别汉字“太”或“元”外，不应用符号，而是通过位置来体现未知量及其幂，实现了代数符号的功效，这在某些方面甚至比现代的符号方式更具优势。

　　中国古代以文字和筹算配合，使得数学工作得以开展并传承。筹算以其壮大的记数、符号和运算功效，在中国古代数学的发展进程中施展了重大的作用。

　　后来随着商业的发展，筹算捷法和相应的口诀发展起来，之后筹算被珠算代替。珠算通过沿用、改进筹算的口诀和方式，在商业、会计和日常生活中施展着宏大的作用。

　　但筹算也有其局限性。邹大海指出，筹算的毛病之一是无法保存演算的进程，中间操作有误就难以追溯。二是算筹应用起来比拟占处所。三是较难实现超过四元的列式和运算。

　　筹算影响中国传统文化

　　明代天元术、四元术等失传，筹算被珠算、笔算代替，但其方式和思想仍在数学发展中施展作用，甚至已渗透到中国思想文化的方方面面。

　　邹大海强调，筹算的主要意义在于制定和运用一系列规矩和方式。筹算靠的重要是智力，并特殊讲求精准，所以在中国传统文化中很多反应智力运动的用语都与筹算有关。比如策划叫“运筹”“筹划”，用“运筹帷幄，决胜千里”表现指挥官在后方策划得好让前线取得成功。又如斟酌得周全叫“算无遗策”“胸有成算”，而策划失误则叫“失算”“失策”。其他如人们常说的“算计”“暗算”“计算”“算命”“胜算”等词汇，皆源自古代的筹算思维。

　　“古人充足挖掘算筹记数法中的位置功效，并用算筹来表现代数式，设计相应的运算方式，形成了中国古代独具特点的筹算传统。中国古代的算术和代数在世界上曾处于先进乃至领先身份，与筹算有很大关系。筹算是中华文化的主要组成部分，筹算的思维也对社会文化和人们的生活发生了必定影响。”邹大海说。